CFU
12
Durata
14 Settimane
Semestre DD
Primo
- I numeri naturali, interi, razionali. I numeri reali: relazione d'rodine e l'assioma di continuità.
- Funzioni: grafico, composizione ed inversione, il grafico della funzione inversa. Funzioni limitate, massimi e minimi. Funzioni monotone, funzioni pari e dispari, funzioni periodiche. Esempi di funzioni elementari.
- Limiti di funzioni e limiti di successioni. Limiti notevoli.
- Continuità: teorema della permanenza del segno, dei valori intermedi, continuità della funzione inversa e teorema di Weierstrass.
- Derivabilità. Definizione, proprieta` algebriche e derivate delle funzioni elementari.
Teorema del valor medio. I teoremi di Rolle, Lagrange e la caratterizzazione della monotonia tramite il segno della derivata. Determinazione di massimi e minimi locali.
- Derivate successive. Funzioni convesse e concave. Studio del grafico di una funzione. La formula di Taylor. Applicazione della formula di Taylor al calcolo dei limiti. Il resto di Lagrange.
- Integrale di Riemann. L'integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione: sostituzione, integrazione per parti e decomposizione in fratti semplici e integrazione delle funzioni razionali. Integrali riducibili all'integrazione di funzioni razionali. Integrali impropri: il criterio del confronto asintotico; convergenza assoluta.
- Serie numeriche, definizione di base ed esempi. Criteri: confronto e confronto asintotico; radice; rapporto; confronto integrale; Leibniz . Successioni di funzioni: convergenza
uniforme. Le serie di potenze e la serie di Taylor.
- Numeri complessi. Rappresentazione esponenziale. Radici di un'eqazione polinomiale.
- Equazioni differenziali. Cenni al teorema di esistenza ed unicita` e proprieta` delle soluzioni. Equazioni a variabili separabili del primo ordine. Equazioni differenziali differenziali lineari: proprietà` generali e soluzioni esplicite delle equazioni lineari a coefficienti costanti. Applicazione al caso dell’oscillatore armonico: smorzato, forzato e risonante. Cenni ai sistemi di equazioni differenziali lineari e soluzione di sistemi a coefficienti costanti diagonalizzabili. Il caso degli oscillatori armonici accoppiati.
Codocenza: Prof. Berretti Alberto
OBIETTIVI FORMATIVI: acquisizione dei concetti di base sul calcolo di limiti, derivate, integrali per funzioni di una variabile, ed equazioni differenziali, e del loro uso per la soluzione di semplici problemi; acquisizione di alcune capacità logiche di base (ad esempio, distinguere tra le ipotesi e la tesi di un teorema, le dimostrazioni per assurdo etc ..).
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: apprendere e comprendere le nozioni di base relative al calcolo di limiti, derivate ed integrali per funzioni di una variabile ed equaizioni differenziali; leggere e comprendere risultati di base relativi a tali argomenti.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: saper calcolare limiti, derivate, integrali di funzioni di una variabile e risolvere equazioni differenziali; saper applicare le nozioni apprese alla risoluzione di problemi (ad esempio: sviluppi di Taylor, grafici di funzioni, convergenza di integrali impropri).
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: saper riconoscere alcune proprietà delle funzioni (monotonia, continuità e derivabilità) e la correttezza di un ragionamento nell'ambito dell'analisi matematica; saper costruire esempi e controesempi.
ABILITÀ COMUNICATIVE: esporre e argomentare la soluzione di problemi; essere, inoltre, in grado di discutere e riprodurre correttamente dimostrazioni di risultati di base relativi all'analisi matematica.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: saper individuare strategie di soluzione in situazioni analoghe a quelle affrontate nel corso.